Penerapan Rumus Segitiga ABC

Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga

         Blog Koma - Salah satu penggunaan trigonometri adalah menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari materi Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat materi yang harus dikuasai sebelum mempelajari materi ini adalah "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Aturan Sinus

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :
  asin∠A=bsin∠B=csin∠C$\begin{array}{r}\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}\end{array}$ atau sin∠Aa=sin∠Bb=sin∠Cc$\begin{array}{r}\frac{\sin \mathrm{\angle }A}{a}=\frac{\sin \mathrm{\angle }B}{b}=\frac{\sin \mathrm{\angle }C}{c}\end{array}$

Pembuktian Rumus aturan sinus :

*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC, sinA=CDAC→CD=ACsinA→CD1=bsinA$\sin A=\frac{CD}{AC}\to CD=AC\sin A\to C{D}_1=b\sin A$
Segitiga BDC, sinB=CDBC→CD=BCsinB→CD2=asinB$\sin B=\frac{CD}{BC}\to CD=BC\sin B\to C{D}_2=a\sin B$
Dari panjang CD,
diperoleh CD1=CD2→bsinA=asinB→asin∠A=bsin∠B$C{D}_1=C{D}_2\to b\sin A=a\sin B\to \frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}$
persamaan (i) : asin∠A=bsin∠B$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}$

*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB, sinA=EBAB→EB=ABsinA→EB1=csinA$\sin A=\frac{EB}{AB}\to EB=AB\sin A\to E{B}_1=c\sin A$
Segitiga CEB, sinC=EBCB→EB=CBsinC→EB2=asinC$\sin C=\frac{EB}{CB}\to EB=CB\sin C\to E{B}_2=a\sin C$
Dari panjang EB,
diperoleh EB1=EB2→csinA=asinC→asin∠A=csin∠C$E{B}_1=E{B}_2\to c\sin A=a\sin C\to \frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$
persamaan (ii) : asin∠A=csin∠C$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$

Dari pers(i) : asin∠A=bsin∠B$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}$ dan pers(ii) : asin∠A=csin∠C$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$
Diperoleh : asin∠A=bsin∠B=csin∠C$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.

Contoh :
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya :
ACsinBACsin60∘AC123–√AC3–√ACACACAC=BCsinA=4sin45∘=4122–√=42–√=43–√2–√=43–√2–√.2–√2–√=46–√2=26–√$\begin{array}{rl}\frac{AC}{\sin B}& =\frac{BC}{\sin A}\\ \frac{AC}{\sin {60}^{\circ }}& =\frac{4}{\sin {45}^{\circ }}\\ \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}& =\frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ \frac{AC}{\sqrt{3}}& =\frac{4}{\sqrt{2}}\\ AC& =\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ AC& =\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ AC& =\frac{4\sqrt{6}}{2}\\ AC& =2\sqrt{6}\end{array}$
Jadi, panjang AC=26–√$AC=2\sqrt{6}$ .